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近年来，随着复杂网络科学的日益发展与成熟，人们的研究范围除了对日常生活中存在的无权无向的网络，更拓展到加权网络范围。加权网络可以进一步准确地反映出节点之间的关联的强度，具有重要的现实意义。
本文为电子学在职硕士论文，主要对时间序列同复杂网络统计项目进行论文阐述。
第1章绪论
1.1课题背景
在许多学科的研究中,例如工程、天体物理、生命科学和经济学。现代数据分析技术作为一种能够深层次地解释的复杂动力学系统的方法，在学术界越来越受到普遍认可和欢迎。作为统计科学中实际使用性较强的一个分支学科，时间序列的内在构造成分是顺次排列的随机变量[1]。按时间顺序将自然、社会发生的各种事情和物体的变换统计摘录下来，不同种类的时间序列就因此而得到了。时间序列在金融学，通信学，水利分析学，自然研究，社会科学与地震学等学科领域内广泛的被使用着[2]。通过时间序列进行研究，我们可以更加深层次的认知现实生活中实际存在的事物从而可以进行客观的决策与判断。在过去的十年中，通过对复杂系统形成的复杂网络的拓扑结构的研究所得到的复杂网络的局部和全局属性(统计指标)有助于理解在扩展的系统的复杂的相互关系和信息在不同组件之间的流动情况,如社会、计算机或神经网络,食物网、交通网络、电力网格,甚至适用于全球气候系统[3]。提到网络，就离不开节点与边。繁多的节点和边是复杂网络的组成部分，组成系统的元素可以被我们看做复杂网络的一个节点，具有同种性质的多个元素也可以被我们看做为一个网络的节点，网络的节点之间是否有边取决于它们之间是否存在某种特定的关系[4]。
对实验得到的时间序列的复杂的动力系统进行描述与分析已经成为了继续研究多种领域的基本问题。近十年,一些利用对复杂网络的拓扑结构的研究去分析时间序列分析方法已经接连被开发出来并应用于研究各种模型系统以及真实世界的数据，目前存在着很多的方法去估测时间序列的分形、相关维度、利亚普诺夫指数等，这些方法也已经广泛的应用，然而这些方法大多需要长数据系列,特别是利用以上的对真实世界的数据不加批判性的应用,可能经常导致陷阱[5]。因为正是非常复杂的长序列经常存在于我们的日常生活中，所以发现并探究在时间序列中所包含的深层的动力性质的研究载体变的越来越值得被我们所重视。研究复杂网络不仅为工程、天体物理、生命科学等自然科学学科的研究开拓了全新的研究领域，也为社会科学学科，例如经济学和统计学中的时间序列分析提供了新的研究视，基于此背景下产生了将对时间序列的分析研究和复杂网络的网络结构分析结合起来的复杂网络科学就应运而生了[6]。已经有几种具体实现利用复杂网络去研究时间序列的动力特征的方法被提出来，这些从复杂网络理论的角度对时间序列所进行的研究已经证明了基于复杂网络角度的数据分析是一种分析时间序列的强有力手段。这些研究已经产生了一种利用复杂网络理论去研究非线性动力系统的研究范式[7]，对于理论性或日常生活中的数据分析都具有十分重要的意义。
1.2本课题研究的目的及意义
复杂网络的拓扑结构体现了系统中个体之间的相互作用关系，复杂网络作为一种研究复杂系统功能和性质的基本方法在日常生活和科研技术的研究中越来越受到重视。作为二十一世纪科学研究的新的思想和理念，复杂网络启发我们用什么样的方式和观点来理解各种人工的或实际生活中存在的复杂系统。网络组成了我们所存在的世界和这个组成这个世界中细化的部分，因此二十一世纪是属于网络的世纪，网络科学的研究为各种学科的研究都提供了一种新的视角和研究平台[8]。最近几年，有几种不同的利用复杂网络平台去分析时间序列的方法，也有利用时间序列分析去分类复杂网络的方法被提出，利用相应的方法去研究不同类型的复杂网络是否对应着不同类型的时间序列。本文的主要研究内容是利用以上的某一种映射方法将时间序列转换成为复杂网络，将不同种类的平稳时间序列映射成为复杂网络。观察服从不同分布的时间序列所导致的网络拓扑结构的统计指标的分布形态。
1.3国内外研究现状与相关技术
时间序列分析研究的是一组按时间间隔的顺序排列起来的统计序列，对这组统计序列通过数学的手段进行研究分析，从而可以对这组序列未来的发展趋势进行合理的预测分析，对未来的情况进行决策与掌控。对实际生活中经验数据的正确建模是时间序列分析的有效手段[9]。近年来时间序列分析的应用已经渗透到日常生活中的方方面面。复杂网络科学的各个分支也已经渗透到社会生活的各行各业，例如神经网络，交通网络，电力网络，鸟群理论，飞机航线网络等等，都在被各国的学者与专家进行广泛的分析研究。通过复杂网络平台对时间序列进行观察与研究是一个比较新的研究方向，把二者结合起来进行数学建模研究不仅仅是学科的交叉分析[10]也是当前的研究热点。
1.3.1时间序列与复杂网络的研究现状
时间序列分析已经广泛应用于经济金融预测、天气预报、军事科学与工业自动化的研究。二战后，时间序列分析的应用更加的广泛并且形成了相对比较完整的理论体系。作为统计学科中应用性较强的一个分支，不断有新的方法和手段出现用于时间序列分析研究，时间序列分析主要集中在频域分析、时间域分析以及这两者之间的结合分析。指数平滑法和移动平均法是比较早应用于时间序列分析的方法，随着科学技术尤其是计算机科学日新月异的发展，当在面临日常生活中大量存在的非线性时间系统，在无法进行建立数学模型获得结果的情况下可以通过应用数学中的实验与观测的手段提取到非线性动力系统中的非线性时间序列进行研究分析并给出解释。1970年以后不同的研究时间序列的数学模型被提出，其中包括标志着线性高斯时间序列模型在日常生活中的广泛应用的自回归模型、移动平均模型以及自回归移动模型等。时间序列分析研究的对象主要是一维线性时间序列，但近年来多维时间序列分析的研究也有所进展[11]。复杂网络的两个关键性特征在这两篇文章中被揭示即无标度性质与“小世界”特性，相应的数学模型也被建立来解释这两种特性出现的原因。
《随机网络中无标度的涌现》的作者在文章中注意到环球信息网中节点的度的分布所具有一种长尾特征，更偏向于服从幂律分布，而不是泊松分布。无标度的特性阐明了增长与择优选择的传布原理和过程是普遍存在于复杂网络的组织和结构演化的过程中的。复杂网络研究的新篇章也因小世界特性和无标度性质的揭示而被掀开。随着复杂网络在国际范围内研究的持续的引发研究热潮，我国国内的在复杂网络研究领域的种种成果也开始展现，香港城市大学的陈关荣教授与上海交通大学的汪小帆教授是最早进入这一领域的国内学者，2002年1月，他们率先发表了两篇关于具有小世界和无标度拓扑结构的网络同步文章，把复杂网络的研究角度引到切入点为研究网络同步的方向。自此之后，国内越来越多的学者关注到复杂网络这一新兴的研究领域，复杂网络的发展的速度也越来越快。许多高等学府设置了专门进行复杂网络的研究的实验室或研究中心，大量研究复杂网络的学术会议在全国各地召开，与此同时众多高校先后针对研究生甚至本科生开设了网络科学课程，越来越多的有关复杂网络的研究著作也被出版，这是由于这些，复杂网络科学的研究在我国日益发展和不断普及。
第2章网络的理论基础与分布函数的实践方法
2.1引言
本章介绍刻画了网络结构的一些拓扑性质，首先介绍的就是一些复杂网络的基本概念以及人们对于实际网络的连通性的认识，在介绍了复杂网络中常用的基本符号概念以及无权网络与加权网络的度分布为代表的复杂网络的几种重要统计指标后，还将介绍几组具体的网络的演化模型。接下来介绍如何通过拉普拉斯变换及其逆变换研究服从连续的独立同分布的随机变量的卷积情况，如何利用Z变换及其逆变换研究服从离散分布的随机变量的卷积情况。最后，对于假设检验的基本思想和具体方法进行介绍。
2.2复杂网络的基本特性与演化模型
随着科学技术的发展尤其是计算机技术日新月异的变化，不断有新的方法用于复杂网络科学的探索研究，其中将时间序列分析与复杂网络相互之间结合起来进行研究的方法更是近些年来研究的焦点[22]，因此通过复杂网络的视角探究时间序列分析的规律需要我们更加全面并且深入地了解复杂网络的基本概念与产生机理。这将成为我们利用复杂网络作为手段进行时间序列分析研究的必要途径。
第3章实验算法与基于卷积公式的理论论证........23
3.1引言........23
3.2基于幅度差法实现时间序列到加权网络的转换.......23
3.3变换方法及假设检验在网络点权分析中的应用.........24
3.4幂律分布及其检测算法.........25
3.5服从高斯分布的时间序列对应的网络点权分布分析.......27
3.6对于指数型时间序列在理论层面所做的研究.......28
3.7本章小结.........30
第4章基于变换方法的复杂网络点权分布分析.......31
4.1引言........31
4.2边权服从指数分布的网络的点权分布分析.........31
4.3边权服从卡方分布的网络的点权分布分析.........33
4.4边权服从泊松分布的网络的点权分布分析........37
4.5边权服从幂律分布的网络的点权分布分析........42
4.6本章小结.........44
结论
近年来，随着复杂网络科学的日益发展与成熟，人们的研究范围除了对日常生活中存在的无权无向的网络，更拓展到加权网络范围。加权网络可以进一步准确地反映出节点之间的关联的强度，具有重要的现实意义。实验结果表明对于高斯型时间序列、指数型时间序列、卡方型时间序列、泊松型时间序列可以通过计算的方式得到它们对应的加权网络节点的点权的分布情况，对于服从幂律分布的时间序列所对应的加权网络的节点的点权分布同样属于幂律分布。
参考文献
[1]陈湘涛,李明亮,陈玉娟等.基于时间序列相似性聚类的应用研究综述[J].计算机工程与设计,2010,31(3):577-581.
[2]BoxGEP,JenkinsGM,ReinselGC.TimeSeriesAnalysis:ForecastingandControl[M].Wiley.com,2013:61-70.
[3]汪小帆，李翔，陈关荣.复杂网络理论及其应用[M].北京：清华大学出版社，2006：1-3.
[4]赫南，李德毅，淦文燕，朱熙.复杂网络中重要性节点发掘综述[J].计算机科学，2007，34（12）：1-4.
[5]韩忠明,陈妮,乐嘉锦等.面向热点话题时间序列的有效聚类算法研究[J].计算机学报,2012,35(11):2337-2347.
[6]汪小帆，李翔，陈关荣.网络科学导论[M].北京：高等教育出版社，2012：1-4.
[7]姚灿中,杨建梅.幂律拟合的进展及其在产业网络中的应用[J].管理学报,2008,5(3):371-375,406.
[8]陈关荣.复杂网络及其新近研究进展简介[J].力学进展,2008,38(6):653-662.
[9]周涛，柏文洁，汪秉宏等.复杂网络研究概述[J].物理，2005，34（1）：31-35.
[10]赵丽丽,唐镇,王建勇等.基于复杂网络理论的时间序列分析[J].上海理工大学学报,2011,33(1):47-52.
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