第1章绪论

1.1混杂系统简介

混杂系统（Hybrid Systems)也有文献称之为混合系统,是混杂动态系统或混合动态系统(Hybrid Dynamical Systems)的简称.混杂系统是一类复杂的动态系统.由于这类系统不仅包含连续动态系统也含有离散事件动态系统,且两者之间相互作用、影响导致其动力学行为的异常复杂.关于混杂系统的最初起源可追溯到Witsenhausen 于 1966 年发表在 IEEE Transaction on Automatic control 上的《A classof hybrid-state continuous-time dynamic systems》一文[1].混杂系统从提出之日起就具有深刻工程背景.由于受当时的发展水平等外在因素影响,在随后的二十多年里关于混杂系统的研究进展不大.首次出现混杂系统这一概念是在一篇名为《对于控制的挑战——集体的观点》会议报告中.混杂系统的出现有其必然性.一方面,伴随着控制理论及计算机科学技术的迅速发展，出现众多复杂的系统，如机器人控制系统、复杂工业生产过程、计算机集中制造系统等，这类系统一般不能仅利用连续动态系统或离散动态系统进行单独刻画.这为混杂系统的出现提供了现实依据.另一方面,随着离散事件动态系统等研究的进展，为混杂系统的研究提供了研究思路及工具.自此之后，由于混杂系统广泛存在于工程领域和各类系统中，关于这类系统的研究吸引越来越多的包括系统科学家、计算机工程师、工程领域研究人员以及数学家等在内的学者的注意.作为一门新兴的交叉学科，它与数学、计算机科学和控制科学密不可分，因此混杂系统的研究领域很广.研究人员从不同学科、不同领域对混杂系统进行研究,促进了这类系统飞速发展.自1998年幵始，伴随着混杂系统理论成果的大量出现，国际著名控制杂志IEEE Transaction onAutomatic control[2] > Automatica[3]、Systems and Control Letters[4]、InternationalJournal of Control[5]等纷纷出版关于混杂系统的专刊[6].系统的开始研究混杂系统可以追溯到20世纪90年代早期.1998年4月13-15日第一届国际混杂系统:计算与控制研习会于美国的加利福尼亚州召开，自此每年召开一届延续至今.国际知名的混杂系统专家有 AntsaMis[7], Barton[8], Branicky[9], Liberzon [10, 11],Sastiy[12], Van Der Schaft[13], Schumacher[14], Teel[15,16], Liu[17]等.国内学者有Zhihong Guan[18，19], Lei Guo[20], Long Wang, Jifeng Zhang, Jun Zhao, Huijun Gao等.

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1.2切换系统

作为混杂动态系统中一类有影响的重要类型，切换系统是一个由一系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则组成的系统.其特点是包含有限或可数个子系统或动态模型，同时附加一个切换规律（又称为切换律,或切换策略),使在子系统之间进行切换.切换律较常用的表达形式是切换序列.尽管切换系统的表现形式简单,但由于多个子系统及切换信号的各种可能性的存在导致该类系统有非常复杂的动力学行为.由于该类型系统在实践和理论上十分重要，近年来对切换系统的研究一直十分活跃.例如，很多自然、社会及工程系统由于环境变化而表现出不同模态（输电系统[28]、运动机器人及交通车辆控制[29]、汽车工业控制[30]、电力系统[31]、稳定控制系统[32]等).2004年11月23日，程代展等利用Google搜索“switched systems”发现有3410000条相关条目[33];如果今天(2014年2月24日）仍用Google搜索“switched systems"会惊奇的发现有80300000条相关条目.这从侧面反应切换系统研究的方兴未艾.

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第2章具有不稳定子系统的不确定切换线性系统的鲁棒稳定性分析

2.1引言

作为重要的一类混杂系统，切换系统常用来模型化各种控制问题及某些自然界的复杂过程.由于存在多个子系统和各种可能切换信号的多样性，导致切换系统虽然表现形式简单.却展现出非常复杂的动力学行为.近几十年来,关于切换系统稳定性的研究一直吸引着众多系统工程师,计算机和数学家们的广泛关注.这一时期,产生了大量有意义的成果（Antsaklis, Lin[32, 60]; Liberzon[lll]).依据吸引集是不是单点集，我们大致可将切换系统的稳定性分析研究归为两大类.针对单点的平衡点集这类情形的稳定性研究，主要以Lyapunov函数方法，微分方程理论,线性矩阵不等式(LMIs)和李代数等方法来处理.对第二类情形则主要以LaSalle不变集原理等为主要工具（Gurvits 等[61];Mancilla-Aguilar[74]; Hespanha [77]).本章中，主要研究切换系统的各个子系统具有一个共有平衡点情形.众所周知，各个子系统存在通用二次Lyapunov函数（CQLF)只是切换系统在任意切换信号下渐近稳定的充分条件（Gurvits, Shorten, Mason[61]; Ding, Shu, Wang[63]; Duarte-Mermoud, OrdMez-Hurtadoa, Zagalak [112]).因而,近年来学者们越来越关注一类具有更少保守性的被称为‘多Lyapunov函数（MLFs) ’的新方法（Zhao，Zhang, Shi,Liu [62]; Sun, Wang [113]; Sun, Liu, Wang, Rees [114]; Niu, Zhao [115]).需要注意的是,无论是通用Lyapunov函数还是MLFs都是以各个子系统均是渐近稳定为前提.然而，迄今为止，只有较少结论是以具有不稳定子系统的切换系统为研究对象，而这类系统在实际中却既具有理论上的挑战性又具有非常重要的应用背景（Zhai等[64], Wang 等[116], Wicks 等[117]，Lien 等[118]，Phat 等[119], Sun 等[120]).

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2.2问题描述及引理

本章研究具有不稳定子系统的切换线性系统的能稳性问题，分别在不同假设条件下给出能稳的必要和充分条件.特别的，鉴于Lyapunov函数方法的重要性,本章设计了获得这类切换系统Lyapunov函数的构造方法.最后，给出含不确定性的这类切换系统鲁棒能稳性的充分条件.本章结论可以扩展到具有不稳定子系统的离散切换系统情形，这部分工作在下一章处理.值得提及的是，最近，一种被称为模型依赖平均驻留时间（MDADT)切换出现在Zhao等[126]和Zhang等[127].由于这一新切换技术容许每个子系统有其各自的平均驻留时间，因而在实践上要比平均驻留时间有更好的实用性.进一步的研究工作之一是结合MDADT技术和本章结论获得更低保守性的能稳性条件.

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第3章具有不稳定子系统的离散时间切换系统......... 31

3.1引言 .........31

3.2问题描述 .........32

3.3稳定性的必要条件......... 33

3.4 稳定性的充分条件 ......... 34

3.5数值算例......... 38

3.6本章结语......... 41

第4章广义Lyapunov函数定理......... 43

4.1引言......... 43

4.2 广义Lyapunov函数定理.........   44

4.3广义Lyapunov函数在切换系统中的应用......... 47

4.4数值算例......... 50

4.5本章结语......... 52

第5章具有离散时间触发条件的重置正系统的稳定性分析......... 53

5.1引言 .........53

5.2基本概念及引理......... 54

5.3 问题描述......... 54

5.4 内稳定分析 ......... 56

5.5 跟踪问题......... 58

5.6时间依赖结论......... 59

5.7本章结语......... 64

第6章扩展平均驻留时间下的切换系统稳定性分析

6.1引言

在给定的切换系统不具有一个通用的Lyapunov函数的情况下，一般来说系统的稳定性性质通常是与切换信号有关的.众所周知，在切换系统的每个子系统都是稳定的条件下，如果切换发生足够“慢”，则由于每次切换带来的影响可以被切换后稳定子系统运行足够长来消除,从而能保证切换系统的稳定性.这引起了学者的广泛关注，取得了丰富成果，如驻留时间（DT),平均驻留时间（ADT)，模型依赖平均驻留时间（MDADT)等.这类切换信号被统称为慢切换信号.现实中，除少数切换系统（如具有交换性的子系统等）外，大多不能获得系统在任意切换信号下稳定的结论,然而却可以获得受限切换信号下的稳定性结论.具有这类性质的切换系统近年来日益受到关注，这类系统的受限切换信号设计问题也在实践中经常碰到.典型的受限切换信号也是常用的信号包括DT和ADT,相对DT来说,ADT由于能够描述更大一类的信号而受到更大关注.值得提及的是，最近文献[126]提出一种新的ADT概念即MDADT,文献[127]则进一步把这种新概念应用到正切换系统上.这种新概念由于容许每个子系统有自己的ADT,因而在实践上较ADT更可行.

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结论

对具有不稳定子系统的切换系统的研究既有理论上的挑战性又有非常重要的应用背景.本文主要利用平均驻留时间技术及不变子空间理论结合Lyapunov稳定性理论,研究了这类系统的能稳性问题，建立一类特殊的重置正系统跟踪问题与这类切换系统的稳定性的特定关系，并研究了如何降低平均驻留时间保守性问题，主要工作总结如下：

(1)针对含不稳定子系统的切换线性系统,首次应用时间依赖ADT研究了子系统均不稳定的切换系统稳定性问题.提出块多Lyapunov函数方法及离散时间切换信号等概念.并将这些新方法及概念应用到这类系统的研究中.

(2)针对含不稳定子系统的切换非线性系统，就经典Lyapunov函数理论的缺陷,提出了广义Lyapunov函数概念，用以处理经典Lyapunov函数失效情形.分别就离散和连续切换系统两种情形,给出了新理论下相应的结论.

(3)首次将重置系统扩展到正系统，提出重置正系统概念.建立重置正系统与离散切换系统的等价关系.利用切换系统成熟结论研究重置正系统的内稳定性及输入扰动跟踪问题.

(4)首次提出ADT技术的闭链，r-开链及拟循环切换信号概念，并利用新概念获得相应的低保守性ADT结论.就拟循环切换信号,给出这类信号下更低保守性的ADT结论.相应结论拓展到模型依赖ADT技术，并与ADT及MDADT做对比，显示结论的优越性.

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参考文献（略）