第一章 绪论

1.1 前言

随着施工技术的不断进步，各类工程朝着更长、更高、更深的方向发展。为了保证工程的施工质量和各种构筑物的使用安全，对工程进行监测与检测是必不可少的。工程监测与检测贯穿于整个工程的勘察、设计、施工及验收等各阶段，其结果的准确性直接影响工程的施工和使用，如何有效地提高监测与检测水平是工程建设中需重点考虑的问题。目前，在岩土工程监测与检测中常用仪器有隧道超前地质预报仪（Tunnel GeologicalPrediction Instrument，TGP）、地质雷达、超声波检测仪、声发射仪、爆破震动仪等，这些仪器被广泛应用于隧道超前地质预报、桩基质量检测、岩土体稳定性监控、结构强度检测等领域。然而，“好马配好鞍”，想要采用先进的监测与检测技术达到有效控制工程施工质量的目的，除有可靠的监控与检测手段外，还必须有对所采集信号进行科学而合理解释的分析技术。如何及时、有效、准确、科学地对工程进行监测、检测、诊断，充实、改进和完善分析理论与方法，已日益受到人们的关注和重视，许多学者正对此做一些有益的探索和研究。遗憾的是，目前工程中采用的监测与检测仪中的自带分析软件普遍基于传统的傅里叶分析理论，而传统傅里叶变换是一种全局变换的信号处理方法，不能同时获得信号的时频域信息，即完全时域或完全频域，无法体现信号的时频局域化特征[1]。而时频局域化特征是分析非平稳信号的关键所在，因此，傅里叶变换只适用于平稳信号的处理。实际工程中的信号多为非平稳信号，傅里叶变换在大多数情况下不能满足实际信号的处理需求，从而发展出了许多新型的信号处理方法，如短时傅里叶变换、分数傅里叶变换、Gabor 变换、小波变换、Winger-Ville 分布、广义双线性时频分布等。其中短时傅里叶变换解决了传统傅里叶变换不能对信号进行时频局部化分析的问题，但由于短时傅里叶变换是一种窗口大小固定、分辨率单一的信号分析方法，在实际信号分析中还存在难以克服的缺陷。为了改进短时傅里叶变换在信号处理中的不足，在短时傅里叶变换的基础上发展出了一种具有多分辨率、窗口大小固定、但窗口形状可变的时频局部化信号处理方法——小波分析。

小波分析是以傅里叶变换为基础发展起来的，相比传统的傅里叶变换有许多本质上的改进。小波分析可同时在时域和频域对信号进行局部化分析处理，能自适应地根据信号的局部特征调整时频窗，以适应实际分析的需要。小波分析在信号的低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在信号的高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，能聚焦到信号时段和频段的任何细节，适用于检测分析信号中夹杂的瞬时突变现象，这正是分析工程信号时所需要的[2]。目前，小波分析被广泛应用于各个领域，如信号分析、图像处理、CT 扫描、语音识别与合成、工程地震勘探、通信与电子系统、机械故障监控与诊断、航空航天技术等。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以使用小波分析，小波分析在超越傅里叶分析的同时与傅里叶分析相互补充，螺旋式向前发展[3]。近年来，采用小波分析产生的各类高科技成果迅速增加，这也使得对小波分析的研究朝更深、更广的方向前进。由于小波分析中所用到的小波基函数不是任意的也不是唯一的，同一信号使用不同的小波基进行分析会产生不同的结果，如图 1.1 所示，同一信号使用不同小波基的去噪效果不同。为了更好地提取所需的信号特征，必须有合适的小波基与被分析信号相匹配。虽然目前有大量已知的小波基函数可供选择，可以满足一般信号分析的需要，但由于其不确定性和对具体问题没有针对性，在某些实际问题中的应用效果还有待提高。如何构造适合被分析信号特征的小波基函数并解决其算法与实现问题，一直是小波分析中的难题，是困扰广大研究人员的根本所在。

1.2 国内外研究现状

1.2.1 经典小波的发展

虽然与小波分析相关的数学工作可以追溯到 20 世纪初期，如 1910 年 Haar 提出的正交规范基；1981 年 Stromberg 对 Haar 小波进行改进，首先构造出了一个跟小波基很接近的基函数，并得到了该基函数的表达式[4]；1984 年法国地质学家 A. Grossmann 和J. Morlet 第一次将小波理论应用到地质数据处理中，并得到了以他们名字命名的Grossmann-Morlet 小波[5]。但小波基构造的重大进展是 Meyer 在 1986 年构造出了衰减快且光滑的小波函数，它的二进伸缩平移系构成 L2(R)的规范正交基[6]。在此之前，人们只知道 Haar 函数那样在时域上局域性非常好但光滑性非常差的正交基，或者像sin( x )、cos( x )那样在时域上毫无局域性但非常光滑的正交基[7]，而 Meyer 小波的出现证明了L2(R)中同时具有局域性和光滑性的规范正交小波基的存在性。

第二章 小波分析理论

2.1 小波分析与傅里叶变换

由傅里叶变换的定义可看出，虽然傅里叶变换能够把信号从时域转换到频域进行分析或者把信号从频域转换到时域进行分析，但从信号的时域波形中不能获得任何频率信息，而频域波形也不包含任何时域信息，即傅里叶变换不具有局部化分析信号的能力。如图 2.1 所示，原始信号的优势频率在频率谱上可得到清晰地体现，但是从频率谱无法得知优势频率所发生的时间。而在非平稳信号的分析中，任一时刻附近的频率特征都很重要，单从时域或频域来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种能将时域和频域联合起来分析信号的方法，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析法[2]。虽然短时傅里叶变换能提供一些时频联合信息，在某种程度上改进了传统傅里叶变换不能对信号进行时频局部化分析的缺点，但由于其分辨率单一，仍不能满足非平稳信号的分析要求。在分析非平稳信号时，对于信号中变化剧烈的部分，要求有较高的时间分辨率，只需要粗略的频率信息就可以了，而对于信号中变化平缓的部分，则主要分析其频率信息，即要求频率分辨率较高。显然，短时傅里叶变换不能根据信号的变化趋势自适应地调整分辨率，因此，在非平稳信号分析中，短时傅里叶变换是不够的。

第三章 基于实测信号的小波基构造法

3.1 前言....... 26

3.2 构造思想的提出 ......... 26

3.3 可行性分析...... 27

3.4 基于实测信号的小波基构造方法......... 30

3.5 本章小结 .... 34

第四章 基于实测信号的小波基构造算法与实现

4.1 前言....... 35

4.2 曲线拟合 .... 35

4.3 允许条件验证 ....... 39

4.3.1 小波允许条件 ........ 39

4.3.2 波动性.... 40

4.3.3 衰减性.... 40

4.4 小波基应用的实现..... 42

4.4.1 定义小波基类型 .... 42

4.4.2 小波基的添加 ........ 43

4.5 本章小结 .... 45

第五章 基于实测信号的小波基构造法

5.1 前言....... 46

5.2 小波变换模极大值法 ...... 46

5.3 基于实测信号的小波基构造法.... 48

5.4 本章小结 .... 61

结论

针对小波分析中小波基的构造与选择及其算法与实现难这一困扰广大研究人员的问题，基于国家自然科学基金项目“爆破震动信号分析中的小波（包）理论及其算法研究”（项目编号：51078043），总结了现有小波基构造方法的研究现状与不足；探索了基于实测岩土工程信号分离法的小波基函数构造法的原理；提出了借助现代数学手段、基于 MATLAB 语言平台的小波基算法与实现途径；通过室内外检测信号对比了新构造小波基在岩土工程信号小波分析中的可行性与优越性。通过开展以上研究工作，取得了以下成果：

（1）针对小波基函数的波形与被分析信号的波形有较好相似性对提高小波分析结果的准确性和分辨率具有相当重要作用的这一特点，在满足小波基函数一般条件的前提下，创造性地提出了基于实测岩土工程信号分离法、能与被分析信号有较好相似性的小波基函数构造新方法；

（2）借助现代数学手段，基于信号分离法获取的子信号，通过对子信号进行曲线拟合，得到与其相似度高的函数，不断修正所得到的函数表达式，使其满足小波基的允许条件和最优小波基的要求，最后将所构造的小波基添加到 MATLAB 的小波工具箱中，较好地解决了小波基函数以及分析过程算法与实现难的问题；

（3）通过采用预设有固定延时间隔的信号检验了新构造小波基在爆破震动信号分析中的精度，并通过工程实例比较了新构造小波基和 db6 小波在确定实测信号微差延时方面的准确性。结果表明：新构造的小波基比 db6 小波在确定爆破震动信号微差延时方面效果更理想，能更好地突出信号中的突变成分。

参考文献

[1] 成礼智，王红霞，罗永. 小波的理论与应用[M]. 北京：科学出版社，2009.

[2] 胡昌华，李国华，周涛. 基于MATLAB 7.x的系统分析与设计—小波分析[M]. 西安:西安电子科技大学出版社，2008

[3] 朱希安，金声震，宁书年，等. 小波分析的应用现状及展望[J]. 煤田地质与勘探，2003，31（2）：51-55.

[4] Stromberg J. A Modified Flanklin System and Higher-order Systems of Rn asUnconditional Bases of Hardy Space[J]. Conference in Harmonic Analysis in Honor ofA.Zygmund，1981，2：475-493.

[5] 程正兴，杨守志，冯晓霞. 小波分析的理论、算法、进展和应用[M]. 北京：国防工业出版社，2007.

[6] Meyer Y. Principe d’ Incertitude，Bases Hilbertiennes et Algebras d’ Operateurs[J].Bourbaki Seminar，1986：662.

[7] 王大凯，彭进业. 小波分析及其在信号处理中的应用[M]. 北京：电子工业出版社，2006.

[8] Mallat S G. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition ： The WaveletRepresentation[J]. IEEE on PAMI，1989，7（11）：575-593.

[9] 耿艳峰，冯叔初. 小波构造综述[J]. 石油大学学报（自然科学版），2004，28（1）：127-131.

[10] 崔锦泰（美）. 小波分析导论[M]. 程正兴（译）. 西安：西安交通大学出版社，1995.